AFA 2024/2025: Matemática

Considere o ponto A (10,6) no plano cartesiano. O ponto B é obtido ao girar o ponto A em 60º no sentido anti-horário, conforme figura abaixo. Então, as coordenadas do ponto médio de AB é igual a

1. (2√3 + 7/2, 5 + 3√3/2)
2. (7 - 3√3/2, 2√3 + 9/2)
3. (15/2 - 3√3/2, 9/2 + 5√3/2)
4. (5√3/2 + 7/2, 11/2 + 3√3/2)

Resolução

A fórmula da multiplicação dos números complexos é:

r₁e^iθ₁ . r₂e^iθ₂ = r₁.r₂ . e^{i(θ₁+θ₂)}

Podemos usar essa relação pra rotacionar o ponto na coordenada cartesiana do enunciado.

O afixo do ponto A(10,6) é:

A = 10 + 6i

Se multiplicarmos A pelo número complexo e^i60º teremos como resultado B:

r_Ae^iθ_α . e^i.60º = r_A e^i(α+60º)
A.(cos 60º + i.sen 60º) = B

(10 + 6i) . (1/2 + i√3/2) = B
5 + i5√3 + 3i - 3√3 = B

B = 5 - 3√3 + (3 + 5√3)i

Daí, o ponto médio entre A e B é:

M = (A + B)/2
M = ( 10 + 6i + 5 - 3√3 + (3 + 5√3)i ) / 2
M = 15/2 - 3√3/2 + (9/2 + 5√3/2)i

Gabarito: (C)