ESA 2024: Matemática


Prof_Raimundo 18 days ago (edited)
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Um cone circular reto de altura 𝐻 e raio 𝑅 deverá ser seccionado por um plano 𝛼 paralelo
à base. A secção determina dois sólidos de mesmo volume. Qual a distância entre 𝛼 e o
plano da base do cone?

Ⓐ (³√2 - 1)/³√2 H
Ⓑ (³√2 - 1)/2 H
Ⓒ ³√2/2 H
Ⓓ (³√2 + 1)/³√2 H
Ⓔ (³√2 + 1)/2 H


Resolução

O volume do cone inteiro é:

V = πR²H/3

Daí, cada um dos sólidos formados pelo plano α deverá ter volume πR²H/6.

Por semelhança de triângulos observamos que:

r/R = h/H

O volume do cone menor formado pelo plano α será:

v = πr²h/3 = πR²H/6
R²H/2 = r²h
(r/R)² = H/2h
(h/H)² = H/2h
(h/H)³ = 1/2
h = H/³√2

Então, a distância entre a base do cone menor e maior é:

d = H - h
d = H - H/³√2
d = (1 - 1/³√2)H
d = H (³√2 - 1)/³√2

Gabarito: (A)

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