EFOMM 2024/2025: Matemática

Determine o volume do paralelepípedo com base quadrada, dadas as seguintes condições:

• Uma pirâmide com base quadrada está completamente contida no paralelepípedo, coincidindo sua base com a base inferior do paralelepípedo. A projeção do vértice da pirâmide coincide com os centros dos quadrados das bases do paralelepípedo. O volume da pirâmide é de 5m³.
• Um cone está contido no paralelepípedo, com vértice comum a pirâmide, e sua base está inscrita na base superior do paralelepípedo. O volume do cone é 4m³.

1. (5 + 48/π) m³
2. (15 + 3/π) m³
3. (5 + 49/3π) m³
4. (15 + 48/π) m³
5. (15 + 49/3π) m³

Resolução

Vamos considerar q as medidas das arestas do paralelepípedo sejam L x L x H.

1º caso:

A fórmula do volume da pirâmide é:

V_p = A_b.h_p/3

Aplicando os valores do problema:

5 = L².h_p/3
L².h_p = 15

2º caso:

A fórmula do volume do cone é:

V_c = πr².h_c/3

Como a base do cone está inscrita na base do paralelepípedo, então:

r = L/2

Aplicando os valores do problema temos:

4 = π.(L/2)².h_c/3
48 = π.L².h_c
L².h_c = 48/π

Para o vértice do cone coincidir com o vértice da pirâmide, então:

h_p + h_c = H

Daí, somando as fórmulas anteriores temos:

L².h_p + L².h_c = 15 + 48/π
L².H = 15 + 48/π
V = 15 + 48/π

Gabarito: (D)