EFOMM 2024/2025: Matemática


Prof_Raimundo 12 days ago (edited)
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Seja T o triângulo ABC com lados de tamanho 10, 5 e 5√3 , com a relação entre seus ângulos BAC > BCA > ABC. Dada a circunferência C inscrita no triângulo ABC interceptando-o nos pontos P ∈ BC, Q ∈ AC e R ∈ AB.

Qual é o perímetro do quadrilátero convexo PBRQ?

  1. 5/2(5 − √2 + √3 + √6)
  2. 5/3(1 − √2 + √3 - √6)
  3. 1/2(5 + √2 - √3 + √6)
  4. 5/2(5 − √2 + √3 - √6)
  5. 1/3(1 − √2 + √3 + √6)

Resolução

Usando o teorema de pitágoras, verifica-se q o triângulo ABC é retângulo em A:

√(5² + 5².3) = √10²

Usando relações trigonométricas podemos obter os ângulos B e C:

cos B = AB/BC
cos B = 5/10 = 1/2
B = 60º

sen C = AB/BC
sen C = 5/10 = 1/2
C = 30º



Os segmentos tangentes com ponto comum são congruentes:

BP = BR
AR = AQ
CQ = CP



No triângulo AQR podemos usar pitágoras pra encontrar a hipotenusa. Daí, RQ = r√2.

Note q o triângulo CPQ é equilátero. Daí, PQ = 5-r.

A fórmula do raio da circunferência inscrita num triângulo retângulo é:

r = (a + b - c)/2

Então:

r = (5 + 5√3 - 10)/2
r = 5(√3 - 1)/2

Finalmente, o perímetro de PBRQ é:

2p = 2.(5√3 - r) + r√2 + 5-r
2p = 10√3 - 3r + r√2 + 5
2p = 5 + 10√3 + r(√2 - 3)
2p = 5 + 10√3 + 5(√3 - 1)/2 . (√2 - 3)
2p = 5 + 10√3 + 5(√6 - 3√3 - √2 + 3)/2
2p = (10 + 20√3 + 5√6 - 15√3 - 5√2 + 15)/2
2p = (25 + 5√3 + 5√6 - 5√2)/2
2p = 5(5 - √2 + √3 + √6)/2

Gabarito: (A)

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