EsPCEx 2024: Matemática

Prova Modelo D

Questão 04

Para todo x ∈ ℝ -{-1, 5/2, 2}, a expressão (-3x⁵ + 2x⁴ + 12x³ - 13x² + 20) / (2x³ - 7x² + x + 10) equivale a:

[A] (3x³ - x² + 5x - 10) / (2x - 5)
[B] (3x³ - x² + 5x - 10) / (-2x + 5)
[C] (-3x³ - x² + 5x + 10) / (2x - 5)
[D] (-3x³ - x² + 5x - 10) / (2x - 5)
[E] (-3x³ - x² + 5x - 10) / (2x + 5)

Resolução

Inicialmente, vamos declarar a seguinte nomeclatura:

(-3x⁵ + 2x⁴ + 12x³ - 13x² + 20) / (2x³ - 7x² + x + 10) = P(x)/Q(x) = R(x)

O enunciado dá a dica que {-1, 5/2, 2} não estão no domínio de R(x). Isso ocorre provavelmente pois são os zeros de Q(x).

Fazendo substituições simples, verifica-se q de fato {-1, 5/2, 2} são os zeros de Q(x). Isso significa q podemos fazer a seguinte fatoração:

Q(x) = 2(x + 1)(x - 5/2)(x - 2)

Já para P(x), da dica inicial apenas {-1, 2} são zeros. Ou seja, apenas os termos (x+1) e (x-2) de Q(x) conseguem dividir P(x).

Para fazer tal divisão, podemos aplicar o algorítimo de Briot-Ruffini. Primeiramente para P(x)/(x+1):

    | -3   +2   +12   -13     0  | +20
    |                            |
 -1 |      +3   -5    -7    +20  | -20
----|----------------------------|------
    | -3   +5   +7    -20   +20  |   0

Portanto:

P(x)/(x+1) = -3x⁴ + 5x³ + 7x² - 20x + 20

Agora, é aplicar novamente Briot-Ruffini mas pelo termo (x-2):

    | -3   +5   +7   -20  | +20
    |                     |
 +2 |      -6   -2   +10  | -20
----|---------------------|------
    | -3   -1   +5   -10  |   0

Portanto:

P(x)/(x+1)(x-2) = -3x³ - x² + 5x - 10

Finalmente:

P(x)/Q(x) = (-3x³ - x² + 5x - 10) / 2(x - 5/2)
P(x)/Q(x) = (-3x³ - x² + 5x - 10) / (2x - 5)

Gabarito: (D)