Seja x um número real positivo. Sabe-se que x⁴ + 1/x⁴ = 23 e que k =
x⁶ + 1/x⁶
Podemos afirmar que k é um elemento do conjunto:
- [ℝ − (ℝ − ℚ)] ⋂ ℕ
- ℚ − ℤ
- ℝ − ℚ
- (ℚ ⋃ ℝ) − ℕ
Resolução
Vamos chamar y = x⁴. Então:
x⁴ + 1/x⁴ = 23
y + 1/y = 23
y² + 1 = 23y
y² - 23y + 1 = 0
Resolvendo essa equação do 2º obtemos:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-23)² - 4.1.1
Δ = 529 - 4
Δ = 525
Δ = 3 x 5² x 7
y = (-b ± √Δ)/2a
y = (23 ± √(3 x 5² x 7) )/2
y = (23 ± 5√21)/2
Note que podemos reescrever k como:
k = x⁶ + 1/x⁶
k = y.√y + 1/y.√y
hummm … pera ae …
Na calculadora é fácil verificar q k = 110, mas se for fazer todas essas
contas na mão é muito braçal e propenso a erros.
Será q não tem um jeito mais elegante??
Note que:
x⁴ + 1/x⁴ = 23
(x² + 1/x²)² - 2 = 23
(x² + 1/x²)² = 25
Como x é um número real:
x² + 1/x² = 5
Para o valor de k tb temos alguns truques:
k = x⁶ + 1/x⁶
k = (x² + 1/x²).(x⁴ - x²(1/x²) + 1/x⁴)
k = 5.(23 - 1)
k = 110
Ou seja, k é um número natural.
Avaliando cada uma das múltiplas escolhas:
correto
[ℝ − (ℝ − ℚ)] ⋂ ℕ = ℚ ⋂ ℕ = ℕerrado
Note q o conjunto ℚ − ℤ não contém ℕerrado
Note q o conjunto ℝ − ℚ não contém ℕerrado
(ℚ ⋃ ℝ) − ℕ = ℝ − ℕ
Note q o conjunto ℝ − ℕ não contém ℕ
Gabarito: (A)