AFA 2024/2025: Matemática

A quantidade de números pares de cinco algarismos distintos que podem ser formados usando-se os algarismos do coeficiente do termo médio no desenvolvimento de (α − 4/α²)⁸ , segundo as potências de expoentes decrescentes de α é:

1. 72
2. 48
3. 42
4. 36

Resolução

Sabemos pela fórmula do binômio de Newton que:

(x+y)ⁿ = ∑ⁿ_k=0 C_n,k x^n-ky^k

Onde os coeficiente binomiais são:

C_n,k = n! / k!(n-k)!

Aplicando ao caso do enunciado temos:

(α − 4/α²)⁸ = ∑⁸_k=0 C_8,k α^8-k (−4/α²)^k

= ∑⁸_k=0 (−4)^k C_8,k α^8-k α^-2k
= ∑⁸_k=0 (−4)^k C_8,k α^8-3k

O termo médio ocorre para k=4 e seu coeficiente é:

= (−4)⁴.C_8,4
= 4⁴.8!/4!4!
= 4⁴.8.7.6.5 / (4.3.2)
= 4³.4.7.2.5
= 4⁴.7.10
= 17920

Para a qtde de números pares q podem ser formados com esses algarismos temos dois casos:

• Caso 1: X X X X 0
  Nesse caso o número termina com o algarismo 0. Pelo teorema fundamental da contagem podem calcular q qtd desses números:
  N₁ = 4.3.2.1 = 24

• Caso 2: X X X X 2
  Nesse caso o número termina com o algarismo 2. No entanto, o algarismo 0 não pode ser o primeiro. Daí, novamente pelo teorema fundamental da contagem:
  N₂ = 3.3.2.1 = 18
  
  

Finalmente, o total de números pares q podem ser formados com os algarismos de 17920 é:

N = N₁ + N₂
N = 24 + 18
N = 42

Gabarito: (C)