Considere um triângulo retângulo cujo perímetro mede 15 unidades de comprimento e que seus lados estão em uma progressão aritmética crescente. A partir desse triângulo, podemos inscrever uma circunferência de raio 𝒓, bem como circunscrever outra circunferência de raio 𝑹. Então, a razão entre o raio da circunferência circunscrita e o raio da circunferência inscrita, nessa ordem, pertence ao intervalo:
- [1, 2[
- [2, 3[
- [3, 4[
- [4, 5]
Resolução
As medidas dos lados do triângulo podem ser expressas por:
{a-q, a, a+q}
Onde q é a razão da progressão aritmética.
Sabemos q o perímetro vale 15, então:
2p = a-q + a + a+q
15 = 3a
a = 5
Usando o teorema de Pitágoras:
(a-q)² + a² = (a+q)²
a²-2aq+q² + a² = a²+2aq+q²
a-2q = 2q
5 = 4q
q = 5/4
Então os lados do triângulo medem:
{15/4, 5, 25/4}
O raio da circunferência circunscrita vale:
2R = 25/4
R = 25/8
A fórmula do raio da circunferência inscrita num triângulo retângulo é:
r = (a + b - c)/2
Onde a, b são os catetos e c a hipotenusa.
Substituindo pelos valores do problema:
r = ( a-q + a - (a+q) )/2
r = (a - 2q)/2
r = (5 - 5/2)/2
r = 5/4
Daí, a razão pedida vale:
R/r = 25/8 / 5/4
R/r = 25/8 . 4/5
R/r = 5/2 = 2,5
Gabarito: (B)