AFA 2024/2025: Matemática

No esporte “Tiro ao Prato”, o objetivo é acertar um tiro no prato em movimento ainda no ar.

Assim, um prato é arremessado por uma máquina lançadora no ponto O, descrevendo uma trajetória parabólica. Alguns segundos depois, também do ponto O, o atleta Tiago efetua um disparo, que acerta o prato a uma altura de 10 metros em relação ao solo.

Sabe-se que:

• A prova é realizada num ambiente totalmente plano.
• Se Tiago não conseguisse acertar o prato, este cairia no solo a uma distância de 30 metros do ponto O.
• A inclinação da trajetória do disparo de Tiago foi de 30°.

Desconsidere a altura da máquina de lançamento, bem como a altura de Tiago e os efeitos do vento. Então, a altura máxima, em metros, alcançada pelo prato, sabendo que o mesmo foi destruído ao ser atingido pelo disparo feito por Tiago, foi de:

1. 15(√3 + 1)/4
2. 15(√3 - 1)/4
3. 10
4. 15

Resolução

Com base na inclinação do disparo e a altura q acertou o prato, podemos obter a distância horizontal percorrida:

tan α = h/d
1/√3 = 10/d
d = 10√3

Considerando q a equação da parábola descrita pelo prato seria:

y = a.(x-x₀).(x-x₁)

Sabemos que ela deve passar pelos seguintes pontos:

(x₀,y₀) = (0,0)
(x₁,y₁) = (30,0)

(x_p,y_p) = (10√3,10)

Então:

y_p = a.(x_p-x₀).(x_p-x₁)
10 = a.10√3.(10√3-30)
1 = 30a.(1-√3)
a = 1/30(1-√3)

O vértice da parábola ocorre em (x₀+x₁)/2 = 15:

y_v = a.x_v.(x_v-30)
y_v = x_v.(x_v-30) / 30(1-√3)
y_v = 15.(15-30) / 30(1-√3)
y_v = 15 / 2(√3-1)
y_v = 15(√3+1) / 2.(3-1)
y_v = 15(√3+1)/4

Gabarito: (A)