Quantas raízes reais e complexas possui o polinômio abaixo?
(x + (3-√17)/2)x²(x+1)(x+2)(x+3)²(x + (3+√17)/2) - 5 = 0
- Zero real e 8 complexas.
- 2 reais e 6 complexas.
- 4 reais e 4 complexas.
- 6 reais e 2 complexas.
- 8 reais e zero complexa.
Resolução
Considerando P(x) = (x + (3-√17)/2)x²(x+1)(x+2)(x+3)²(x + (3+√17)/2), temos o seguinte estudo de sinais:
Daí, para x < (3-√17)/2 ou x > (3-√17)/2 sabemos q haverá duas raízes reais em q P(x)=5.
Para o ponto médio entre -2 e -1 (ie: -1,5) temos q P(-1,5) ≃ 5,3789
. Ou seja, entre -2 e -1 há outras duas raízes reais em q P(x) =
5.
Tb sabemos q P(x) é um polinômio de 8ª ordem e portanto possui um
total de 8 raízes. Como 4 raízes são reais então 4 são complexas.
Gabarito: (C)