Seja S a soma de todos t ∈ [0,2π] que satisfazem a igualdade
2 sec²(x) cot²(t) − 2cot²(t) = A.B , onde
• A=[tan²(x) + cos(2x) tan²(x)]
• B=[2cos²(x) + tan²(x) − cos(2x)] ,
tal que x ∈ (0,2π).
Seja VE=S/3 o volume da esfera E inscrita num cilindro C.
Seja K o sólido formado por dois cones inscritos em C, tal que cada uma das bases coincide com as bases inferior e superior de C e vértices comum no centro de E.
O sólido AC, chamado de Anticlépsidra, é a região interna de C e externa de K.
Seja VAC o volume da Anticlépsidra e Ac a área total do cilindro C.
Qual é o valor de 4Ac/VAC?
- 18
- 18π²
- 18π
- 9π²
- 9
Resolução
1ª parte: Trigonometria
Lembrando da seguinte identidade trigonométrica:
cos(2x) = (1 - tan²(x))/(1 + tan²(x))
Podemos então simplificar A:
A = tan²(x) + cos(2x) tan²(x)
A = tan²(x) ( 1 + cos(2x) )
A = tan²(x) ( 1 + (1 - tan²(x))/(1 + tan²(x)) )
A = tan²(x) (1 + tan²(x) + 1 - tan²(x))/(1 + tan²(x))
A = 2tan²(x)/(1 + tan²(x))
Lembrando da seguinte identidade trigonométrica:
cos(2x) = 2cos²(x) - 1
Podemos então simplificar B:
B = 2cos²(x) + tan²(x) - cos(2x)
B = 2cos²(x) + tan²(x) - 2cos²(x) + 1
B = 1 + tan²(x)
Daí:
A.B = ( 2tan²(x)/(1 + tan²(x)) ) . (1 + tan²(x))
A.B = 2tan²(x)
Lembrando da seguinte identidade trigonométrica:
sec²(x) = 1 + tan²(x)
Podemos então simplificar a igualdade inicial:
2 sec²(x) cot²(t) − 2cot²(t) = A.B
2cot²(t) (sec²(x) − 1) = 2tan²(x)
cot²(t) (1 + tan²(x) − 1) = tan²(x)
cot²(t) tan²(x) = tan²(x)
cot²(t) = 1
cot(t) = ±1
tan(t) = ±1
t = {π/4 , 3π/4 , 5π/4 , 7π/4}
S = 4π
2ª parte: Geometria Espacial
Para o volume da esfera E temos:
VE = S/3
VE = 4π/3
Da fórmula do volume da esfera obtemos:
VE = 4πr³/3
4π/3 = 4πr³/3
r³ = 1
r = 1
Para a esfera estar inscrita no cilindro, então a altura do cilindro deverá ser:
hC = 2r
hC = 2
O volume e a área total do cilindro C serão:
VC = πr².hC
VC = 2π
AC = 2πr² + 2πrhC
AC = 2π + 4π
AC = 6π
Daí, a altura de cada cone será:
hk = r
hk = 1
E o volume de cada cone será:
Vk = πr²/3
Vk = π/3
O volume do sólido K formado pelos dois cones será:
VK = 2Vk
VK = 2π/3
O volume do sólido AC (anticlépsidra) será:
VAC = VC - VK
VAC = 2π - 2π/3
VAC = 4π/3
A expressão pedida será:
4AC/VAC = 4.6π/(4π/3)
4AC/VAC = 18
Gabarito: (A)