Enem 2024: Matemática

Um jardineiro dispõe de k metros de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado, por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

O jardineiro escolherá a forma de

1. hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (k²√3)/24.
2. hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (3k²√3)/2.
3. quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será k²/16.
4. triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (k²√3)/36.
5. triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será (k²√3)/4.

Resolução

O comprimento do lado a do jardim caso seja um triângulo regular, quadrado ou hexágono regular é:

a_tri = k/3
a_qua = k/4
a_hex = k/6

A fórmula da área dessa figuras é:

S_tri = (a²√3)/4
S_qua = a²
S_hex = (3a²√3)/2

Substituindo pelos respectivos valores de a:

S_tri = (k²/9).√3/4 = (k²√3)/36 ≃ 0,048k²
S_qua = k²/16 ≃ 0,0625k²
S_hex = (k²/36).(3√3)/2 = (k²√3)/24 ≃ 0,072k²

Ou seja, para um mesmo perímetro k, a área do hexágono regular será a maior de todas.

Resposta: (A)