ESA 2024: Matemática


Prof_Raimundo 17 days ago (edited)
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A figura abaixo ilustra a propriedade refletora da hipérbole. Se um raio partir de um ponto 𝐴 e seguir em direção a 𝐹₂, então ele é refletido pela hipérbole, no ponto 𝑃, e segue em direção a 𝐹₁.

Considere a hipérbole 4𝑥² − 5𝑦² = 20 de focos 𝐹₁ e 𝐹₂ , com 𝐹₁ à esquerda de 𝐹₂. Qual das retas abaixo dá a direção do raio que deve partir do ponto 𝐴(1,3) para ser refletido no ramo da direita da hipérbole e caminhar em direção a 𝐹₁?

Ⓐ 3𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0
Ⓑ 2𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0
Ⓒ 𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
Ⓓ 2𝑥 − 𝑦 + 7 = 0
Ⓔ 𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0


Resolução

Sabemos q a equação reduzida da hipérbole sobre o eixo x é:

(x/a)² − (y/b)² = 1

Nesse caso, a distância focal vale:

a² + b² = c²

Então, para o caso do enunciado temos:

4x² − 5y² = 20
x²/5 − y²/4 = 1
(x/√5)² − (y/2)² = 1

=> a=√5 e b=2

Daí, a distância focal vale:

a² + b² = c²
(√5)² + 2² = c²
5 + 4 = c²
c = 3

=> 𝐹₁ = (-3,0) e 𝐹₂ = (3,0)

A reta y = mx + k que passa por A e 𝐹₂ deve satisfazer o seguinte sistema:

3 = m + k
0 = 3m + k

Subtraindo uma da outra:

-3 = 2m
m = -3/2

Daí:

-3/2 + k = 3
k = 3 + 3/2
k = 9/2

Finalmente:

y = -3x/2 + 9/2
2y = -3x + 9
3x + 2y - 9 = 0

Gabarito: (A)

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