Sejam A₁, A₂, A₃, A₄ os quatro primeiros termos de uma progressão geométrica, respectivamente. Sejam a₁, a₂, a₃, a₄ os quatro primeiros termos de uma progressão aritmética, respectivamente, tais que:
A₁ = a₄ – a₃
a₁ = A₁ – 5
a₂ = A₁ + 1
a₄ + 4(a₃ – a₂) = A₂ + 1
Sejam Aₙ o n-ésimo termo da p.g. e aₙ o n-ésimo termo da p.a.
Logo, A₁₀A₉₉₉5 / (a₅₀-1)A₁₀₀₀5 é igual a:
- A₃/a₇
- a₁₁
- A₃/a₅
- a₉
- A₉
Resolução
A diferença de dois termos consecutivos numa PA é sempre constante. Então:
r = a₂ – a₁
r = (A₁ + 1) – (A₁ – 5)
r = 1 + 5
r = 6
Desenvolvendo as equações fornecidas:
A₁ = a₄ – a₃
A₁ = r
A₁ = 6
a₁ = A₁ - 5
a₁ = 6 - 5
a₁ = 1
Lembrando q a fórmula do termo geral numa PA é:
aₙ=a₁+r(n-1)
Então:
a₄ + 4(a₃ – a₂) = A₂ + 1
(a₁+3r) + 4r = A₂ + 1
1 + 7.6 = A₂ + 1
A₂ = 42
Lembrando q a fórmula do termo geral numa PG é:
Aₙ=A₁.qn-1
Então:
A₂ = A₁.q
42 = 6q
q = 7
Portanto, as fórmulas dos termos gerais da PA e da PG do enunciado são:
aₙ = 1 + 6(n-1)
Aₙ = 6.7n-1
Finalmente, a expressão pedida vale:
= A₁₀A₉₉₉5 / (a₅₀-1)A₁₀₀₀5
= 6.7⁹ . 6.7998.5 / 6.49 . 6.7999.5
= 7⁷ / 7⁵
= 7²
= 49
Verificando cada uma das múltiplas escolhas:
errado
A₃/a₇ = 6.7²/(1+6.6) = 6.7²/37errado
a₁₁ = 1 + 6.10 = 61errado
A₃/a₅ = 6.7²/(1+6.4) = 6.7²/5²correto
a₉ = 1 + 6.(9-1) = 1 + 6.8 = 49errado
A₉ = 6.7⁸
Gabarito: (D)