EsPCEx 2024: Matemática

Prova Modelo D

Questão 13

A reta r dada pela equação y = x-1 não intersecta a hipérbole cuja equação reduzida é (x-3)²/2 - (y-2)²/2 = 1. Seja s a reta que passa pelo centro dessa hipérbole e é perpendicular a r. É correto inferir que s:

[A] não tem interseção com a hipérbole e intersecta o eixo das ordenadas em y=5.
[B] tem interseção com a hipérbole e intersecta o eixo das ordenadas em y=5.
[C] não tem interseção com a hipérbole e intersecta o eixo das ordenadas em y=-1.
[D] tem interseção com a hipérbole e intersecta o eixo das ordenadas em y=-1.
[E] tem interseção com a hipérbole e intersecta o eixo das ordenadas em y=2.

Resolução

A equação reduzida da hipérbole com focos sobre a horizontal e centro fora da origem é:

(x-x_c)²/a² - (y-y_c)²/b² = 1

Comparando com a equação do enunciando, obtemos q o centro da hipérbole é:

(x_c,y_c) = (3,2)

Para a reta s ser perpendicular a reta r, seus coeficiente angulares devem satisfazer a seguinte relação:

m_r . m_s = -1

Como m_r=1, então m_s=-1.

Sabemos tb que a reta s passa pelo centro da hipérbole. Então:

y = -x + k
3 = -2 + k
k = 5

Ou seja, a reta s intersecta o eixo das ordenadas em y=5.

Assim, a equação da reta s fica:

y = -x + 5

Para saber se a reta s intersecta a hipérbole:
Devemos inserir a equação de s na equação da hipérbole e verificar possíveis soluções.

(x-3)²/2 - (y-2)²/2 = 1
(x-3)² - (-x+5-2)² = 2
(x-3)² - (-x+3)² = 2
(x-3)² - (x-3)² = 2
0 = 2

Ou seja, a reta s não intersecta a hipérbole. Não há nenhum ponto em comum entre os dois.

Verificando cada uma das opções:

1. Certo.
   A reta s não intersecta a hipérbole e intersecta o eixo das ordenadas em y=5.

2. Errado.
   A reta s não intersecta a hipérbole.

3. Errado.
   A reta s não intersecta o eixo das ordenadas em y=-1.

4. Errado.
   A reta s não intersecta a hipérbole e nem intersecta o eixo das ordenadas em y=-1.

5. Errado.
   A reta s não intersecta a hipérbole e nem intersecta o eixo das ordenadas em y=2.
   
   

Gabarito: (A)