EFOMM 2024/2025: Matemática

Quais as relações entre a, b, c ∈ R*₊ , com a , b , c ≠ 1, a ≠ c e b ≠ 1/c para que a equação abaixo seja válida

log_a(bc)^β.log_b(a/c)^α.log_cb = αβ[A - B + C - D],

em que

• A=log_c(a) . log_a(b) . log_b(a)
• B=log_a(b) . log_b(c) . log_c(a)
• C=log_a(c) . log_c(a) . log_b(a)
• D=log_a(c) . log_b(c) . log_c(a), tal que α,β ∈ R*.

1. a + b = c
2. a - b = 0
3. a + b + c = 1
4. c - 2b = 0
5. 2a + 3c = 1

Resolução

Sabemos que uma das propriedades dos logaritmos é:

log_ba × log_ab = 1

Então:

A = log_ca . log_ab . log_ba
A = log_ca

B = log_ab . log_bc . log_ca
B = (log b / log a) . (log c / log b) . (log a / log c) (mudança de base)
B = 1

C = log_ac . log_ca . log_ba
C = log_ba

D = log_ac . log_bc . log_ca
D = log_bc

Voltando pra equação pedida:

log_a(bc)^β.log_b(a/c)^α.log_cb = αβ[A - B + C - D]
β.log_a(bc).α.log_b(a/c).log_cb = αβ[A - B + C - D]
log_a(bc).log_b(a/c).log_cb = A - B + C - D

log_a(bc).log_b(a/c).log_cb = log_ca - 1 + log_ba - log_bc
log_a(bc).log_b(a/c).log_cb = log_ca/c + log_ba/c
log_a(bc).log_b(a/c).log_cb = (log_ba/c / log_bc) + log_ba/c
log_a(bc).log_b(a/c).log_cb = log_ba/c (1/log_bc + 1)
log_a(bc).log_cb = (1/log_bc + 1)
log_a(bc).log_cb = log_cb + 1
log_a(bc) = 1 + 1/log_cb
log_a(bc) = 1 + log_bc
log_a(bc) = log_bbc
log_a(bc) = log_abc / log_ab
1 = 1 / log_ab
log_ab = 1
a = b
a - b = 0

Gabarito: (B)