AFA 2024/2025: Matemática

Se (1-i)(cos 11π/12 + i.sen 11π/12) = x + yi; com x e y pertencentes ao conjunto dos reais e i a unidade imaginária, então, √2.y - x é igual a

1. √3 + √2/2
2. √3 - √2/2
3. (√3 + √2)/4
4. (√3 - √2)/4

Resolução

Vamos desenvolver a expressão original:

(1-i)(cos 11π/12 + i.sen 11π/12) =
√2(√2/2 - i√2/2).e^i.11π/12 =
√2 . e^i.-π/4 . e^i.11π/12 =
√2 . e^{i.(11π/12−π/4)} =
√2 . e^i.8π/12 =
√2 . e^i.2π/3 =

Daí:

x + yi = √2 . e^i.2π/3
x + yi = √2 . (cos 2π/3 + i.sen 2π/3)
x + yi = √2 . (-1/2 + i.√3/2)

Portanto:

x = -√2/2
y = √6/2

O valor da expressão pedida é:

√2.y - x =
√2.√6/2 - (-√2/2) =
√3 + √2/2

Gabarito: (A)