EFOMM 2024/2025: Matemática

Seja Z o número de soluções inteiras não negativas da inequação x₁ + x₂ + x₃ + x₄ < 6.

Determine o termo que contém x⁴ no desenvolvimento de (x² + Z)¹² .

1. 16(64⁸ x⁴)
2. 16(126¹⁰ x⁴)
3. 66(126⁸ x⁴)
4. 66(126¹⁰ x⁴)
5. 96(144⁸ x⁴)

Resolução

A fórmula do número de soluções inteiras e não negativas de uma equação do tipo x₁ + x₂ + x₃ + … + xₙ = k é:

Z_n,k = P_n-1+k^n-1,k

Onde P é a fórmula da permutação. Então:

Z_n,k = (n-1+k)! / (n-1)!k!

Aplicando aos valores do enunciado:

• x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 5

  P_4-1+5^4-1,5 = (4-1+5)! / (4-1)!5!
  P₈^3,5 = 8! / 3!5! = 8!/6! = 56
  
  

• x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 4

  P_4-1+4^4-1,4 = (4-1+4)! / (4-1)!4!
  P₇^3,4 = 7! / 3!4! = 35

• x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 3

  P_4-1+3^4-1,3 = (4-1+3)! / (4-1)!3!
  P₆^3,3 = 6! / 3!3! = 20

• x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 2

  P_4-1+2^4-1,2 = (4-1+2)! / (4-1)!2!
  P₅^3,2 = 5! / 3!2! = 10

• x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1

  P_4-1+1^4-1,1 = (4-1+1)! / (4-1)!1!
  P₄^3,1 = 4! / 3!1! = 4

• x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0

  P_4-1+0^4-1,0 = (4-1+0)! / (4-1)!0!
  P₃^3,0 = 3! / 3!0! = 1
  
  

Portanto:

Z = Z_4,5 + Z_4,4 + Z_4,3 + Z_4,2 + Z_4,1 + Z_4,0
Z = 56 + 35 + 20 + 10 + 4 + 1
Z = 126

Sabemos pela fórmula do binômio de Newton que:

(x+a)ⁿ = ∑ⁿ_k=0 C_n,k x^n-ka^k

Então:

(x² + 126)¹² = ∑¹²_k=0 C_12,k x^24-2k126^k

O termo q contém x⁴ nesse desenvolvimento ocorre em:

24-2k = 4
k = 10

Então:

= C_12,10 x⁴ 126¹⁰
= 12!/2!10! x⁴ 126¹⁰
= 12.11/2 x⁴ 126¹⁰
= 66 126¹⁰ x⁴

Gabarito: (D)