EsPCEx 2024: Matemática

Prova Modelo D

Questão 08

O valor do módulo da diferença entre as duas raízes complexas não-reais da equação x⁵ - 4x⁴ + 5x³ - 6x + 4 = 0 é igual a:

[A] 1
[B] 2
[C] 3
[D] 4
[E] 5

Resolução Recomendada: Fórmulas de Viète

Usando a regra de sinais de Descartes vemos que:

• x⁵ - 4x⁴ + 5x³ - 6x + 4 => + - + - +
  Ocorrem 4 mudanças de sinal. Portanto, existem 0, 2 ou 4 raízes reais positivas.

• -x⁵ - 4x⁴ - 5x³ + 6x + 4 => - - - + +
  Ocorre 1 mudança de sinal. Portanto, existe exatamente uma raiz negativa.

Adicionalmente, sabemos que a equação possui 5 raízes pois corresponde a um polinômio de 5a ordem.

Logo podemos tirar as seguintes conclusões:

• duas raízes são complexas
• uma raíz é real negativa
• duas raízes são reais positivas

Daí, podemos tentar na “sorte” o caso mais óbvio {-1,1,2}. Fazendo uma verificação rápida, vemos que de fato são raízes reais.

Para obter a difereça entre as raízes complexas podemos usar as fórmulas de Viète:

• Fórmula de Viète da soma das raízes:
  x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = - a4/a5
  -1 + 1 + 2 + x₄ + x₅ = 4/1
  x₄ + x₅ = 2
  
  

• Fórmula de Viète do produto das raízes:
  x₁ . x₂ . x₃ . x₄ . x₅ = (-1)⁵ a0/a5
  1 . -1 . 2 . x₄ . x₅ = (-1)⁵ 4/1
  x₄ x₅ = 2
  
  

Sabemos tb q num polinômio de coeficientes reais, as eventuais raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados. Logo:

x₄ + x₅ = 2
(a + bi) + (a - bi) = 2
2a = 2
a = 1

x₄ x₅ = 2
(1 + bi) (1 - bi) = 2
1 - b²i² = 2
b² = 1
b = ±1

Portanto, as raízes complexas são:

x₄ = 1 + i
x₅ = 1 - i

Finalmente, o módulo da diferença entre elas é:

= |x₄ - x₅|
= |(1+i) - (1-i)|
= |2i|
= 2

Gabarito: (B)

Resolução Alternativa: Algoritmo de Briot-Ruffini

Inicialmente, vamos chamar p(x) = x⁵ - 4x⁴ + 5x³ - 6x + 4.

Por tentativa e erro, podemos encontrar suas raízes reais {-1,1,2}.

Daí, podemos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir p(x) por (x+1)(x-1)(x-2):

    |  1   -4   5    0    -6   |  4
    |                          |
 -1 |      -1   5   -10   10   | -4
----|--------------------------|----
    |  1   -5   10  -10    4   |  0
    
    |  1   -5   10  -10   |   4
    |                     |
  1 |       1   -4    6   |  -4
----|---------------------|------
    |  1   -4    6   -4   |   0
    
    |  1   -4    6   |  -4
    |                |
  2 |       2   -4   |   4
----|----------------|------
    |  1   -2    2   |   0

Portanto:

r(x) = p(x) / (x+1)(x-1)(x-2) = x² - 2x + 2

Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de r(x):

Δ = 4 - 4.1.2
Δ = -4

x_1,2 = (2 ± √-4) / 2
x_1,2 = (2 ± 2i) / 2
x_1,2 = 1 ± i

O módulo da diferença dessas duas raízes complexas será:

= |x₁ - x₂|
= |1+i - 1-i|
= |2i|
= 2

Gabarito: (B)