EFOMM 2024/2025: Matemática

Sejam α,λ ∈ R, I_n×n a matriz identidade de ordem n e J_n×n a matriz com todas entradas iguais a 1, com ordem n.

Qual o resultado do produto das matrizes B_n×nx_n×1, tal que vale a igualdade

A_n×n + B_n×n = αI_n×n + J_n×n

com as seguintes propriedades:

- P~1~: A~n×n~x~n×1~ = λx~n×1~

                                     | x11 |
- P~2~: ∑~i=1~^n^x~i1~ = 0; x~n×1~ = | x21 |.
                                     |  ⋮  |
                                     | xn1 |

1. (α+1−λ)x_n×1
2. (α+λ)x_n×1
3. (α−λ)x_n×1
4. αx_n×1
5. λx_n×1

Resolução

Primeiramente precisamos desenvolver a equação matricial:

A + B = αI + J
AX + BX = αX + JX

Da propriedade P₁ temos q AX = λX. Então:

λX + BX = αX + JX

Para o termo JX temos:

JX = ( ∑_i=1ⁿx_i1 ∑_i=1ⁿx_i1 … )

Da propriedade P₂ temos:

JX = (0 0 0 … 0)

Então:

λX + BX = αX
BX = αX - λX
BX = (α - λ)X

Gabarito: (C)