EFOMM 2024/2025: Matemática

Sobre funções, analise as alternativas abaixo:

1. A função tan(x), x ∈ [0,π/2) é sobrejetora em R₊ e a função sen(x), x ∈ R, é injetora.

2. As imagens das famílias de funções f(x) = a|x|+b, com a e b ∈ R, não contêm números negativos.

3. A função exponencial de base a, definida por f:R→R^*₊, é denotada por f(x)=a^x, onde a é um número real positivo e diferente de 1. Suponha que as funções g(x)=b.a^x e G(x)=B.A^x, com as constantes b, B ∈ R^*₊, satisfaçam g(x₁)=G(x₁) e g(x₂)=G(x₂) para x₁≠x₂. Nesse caso, temos que a=A e b=B.

4. Funções quadráticas e racionais são definidas em todo conjunto real.

5. Se a função f é não injetora e não sobrejetora e a função g é não injetora, então função composta gof é não sobrejetora.

Assinale a opção correta.

1. Apenas as afirmativas II, III, IV e V são verdadeiras.
2. Apenas as afirmativas IV e V são verdadeiras.
3. Apenas a afirmativa III é verdadeira.
4. Apenas as afirmativas I, II e V são verdadeiras.
5. Apenas as afirmativas I, III, e V são verdadeiras.

Resolução

1. incorreta
   tan(x) realmente é sobrejetora nesse intervalo (ie: todos elementos do domínio associados a todos elementos do contradomínio).
   sen(x) é periódica, portanto não pode ser injetora.

2. incorreta
   Basta q b<0 pra q f(x) tenha imagem com números negativos.

3. correta
   g(x)=G(x) => b.a^x=B.A^x => (a/A)^x=B/b
   Sabemos q a função exponencial é injetora. Portanto, é impossível q:
   (a/A)^x₁ = (a/A)^x₂ = B/b

4. incorreta
   Contraexemplo: x²/x
   Não está definida em todo R.

5. incorreta
   Contraexemplo:
   f(x) = |x| , f: R→R
   g(x) = x² , g: R→[0,+∞[
   gof = |x|² = x² , gof: R→[0,+∞[ , mas gof é sobrejetora.
   
   

Gabarito: (C)