AFA 2024/2025: Matemática

Sejam a, b e c números reais positivos, com a ≠1 e c ≠1 e, sabendo que x = log_c(a^1/5.³√b / c²)² e y = log_a(√c . b³), então, o valor de x.y é:

(dados: c^-3 = a e c² = b)

1. -58/15
2. 203/9
3. 377/45
4. -15/58

Resolução

Note q os dados fornecidos podem ser reescritos como:

c^-3 = a
c = a^-1/3

c² = b
b = a^-2/3

Simplificando x temos:

x = log_c(a^1/5.³√b / c²)²
x = 2.log_c(a^1/5.³√b / c²)
x = 2.( log_c(a^1/5) + log_c(³√b) - log_c(c²) )
x = 2.( log_c(a)/5 + log_c(b)/3 - 2.log_c(c) )
x = 2.( log_c(c^-3)/5 + log_c(c²)/3 - 2.log_c(c) )
x = 2.( -3.log_c(c)/5 + 2.log_c(c)/3 - 2.log_c(c) )
x = 2.(-3/5 + 2/3 - 2)
x = 2.(-9/15 + 10/15 - 30/15)
x = -58/15

Simplificando y temos:

y = log_a(√c . b³)
y = log_a(√c) + log_a(b³)
y = log_a(c)/2 + 3.log_a(b)
y = log_a(a^-1/3)/2 + 3.log_a(a^-2/3)
y = (-1/3).log_a(a)/2 + 3.(-2/3).log_a(a)
y = (-1/3)/2 + 3.(-2/3)
y = (-1/6) - 2
y = -13/6

Daí, o valor pedido de x.y é:

x.y = -58/15 . -13/6
x.y = 29/15 . 13/3
x.y = 377/45

Gabarito: (C)