AFA 2023/2024: Matemática

Em um treinamento militar, um esquadrão é dividido em 5 equipes. O objetivo do treinamento é simular ataque e defesa, em que cada equipe tentará bombardear as bases adversárias e, ao mesmo tempo, defender suas bases, destruindo as aeronaves inimigas. Cada equipe possui 5 aeronaves para ataque, bem como 5 bases a serem defendidas.

As regras são:

• As bases possuem poder antiaéreo para destruir aeronaves.
• As aeronaves possuem poder de fogo suficiente para destruir as bases.
• Aeronaves não podem atacar aeronaves.
• Bases não podem atacar bases.
• Como era apenas um treinamento não havia poder real de fogo, mas havia sensores nas bases e também nas aeronaves para indicar se houve acerto ou não ao alvo.

A matriz A, com elementos do tipo a_ij indica a quantidade de bases da equipe 𝑖 que foram destruídas pelo ataque da equipe 𝑗.

    ⎛0 0 3 0 0⎞
    |2 0 1 0 1|
𝐴 = ⎜0 1 0 1 1⎟
    |1 2 0 0 1|
    ⎝0 3 1 1 0⎠

Já a matriz B, com elementos do tipo b_ij indica a quantidade de aeronaves da equipe 𝑗 que foram destruídas pelo sistema de defesa da equipe 𝑖.

    ⎛0 1 0 1 1⎞
    |0 0 1 1 1|
𝐵 = ⎜2 2 0 2 0⎟
    |0 0 2 0 2|
    ⎝0 1 2 0 0⎠

Com base nas informações, pode-se afirmar que:

1. A equipe com melhor ataque destruiu 𝑘 bases, sendo 𝑘 um elemento da sequência (-32, 16, -8,…)
2. A diferença entre as bases destruídas pelas aeronaves da equipe 4 e 5, nessa ordem, é um elemento do domínio da função 𝑓(𝑥) = ln(𝑥)
3. A soma da quantidade total de aeronaves destruídas e das bases destruídas de todas as equipes é a soma dos termos da sequência (-10, -7, - 4, …, 17)
4. A razão entre aeronaves e bases perdidas, nessa ordem, pela equipe 4 é a menor das raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥³ − 5𝑥² + 7𝑥 − 3

Resolução

Verificando cada uma das múltiplas escolhas:

1. Errado
   A equipe com melhor ataque foi a 2 pois a coluna j=2 da matriz A é a q tem o maior total de bases destruídas, ie k=6.
   Aparentemente a sequencia apresentada é uma progressão geométrica de razão -1/2:
   (-32, 16, -8, 4, -2, 1, -1/2, …)
   Ou seja, k=6 não é um elemento dessa sequencia.

2. Errado
   A soma dos elementos da 4ª e 5ª coluna da matriz A são, respectivamente, 2 e 3. Cuja diferença, nessa ordem, é -1.
   No entanto, o domínio da função ln(x) não engloba números negativos.

3. Errado
   A soma de todas as bases destruídas corresponde a soma de todos os elementos da matriz A, ie: T_A = 19
   A soma de todas as aeronaves destruídas corresponde a soma de todos os elementos da matriz B, ie: T_B = 19
   Daí, T = T_A + T_B = 38

   A sequencia completa em questão é uma progressão aritmética de razão 3:
   (-10, -7, - 4, -1, 2, 5, 8, 11, 14, 17)
   O somatório é S_n = (-10+17).10/2 = 35

4. Correto
   O número de bases perdidas pela equipe 4 corresponde a soma da linha 4 da matriz A, ie: 1+2+1 = 4
   O número de aeronaves perdidas pelas equipe 4 corresponde a soma da coluna 4 da matriz B, ie: 1+1+2 = 4
   Daí, a razão pedida é 4/4 = 1.

   Note q x=1 realmente é raiz do polinômio P. Aplicando Briot-Ruffini:

       | +1   -5   +7  | -3    
       |               |  
    +1 |      +1   -4  | +3    
   ----|---------------|-----
       | +1   -4   +3  |  0    

   Ou seja, P(x) = (x-1)(x²-4x+3).

   Usando a fórmula de Bhaskara obtemos q as raízes de x²-4x+3 são x₁=1 e x₂=3. Então:

   P(x) = (x-1)²(x-3)

   Ou seja, de fato 1 é a menor raiz do polinômio P(x).
   
   

Gabarito: (D)