Analise as afirmativas a seguir sobre operações de conjuntos.
I – (A−B)×C = (A×C) − (B×C).
II – A ⊂ D e B ⊂ E → A×B ⊂ D×E.
III – Se A,B ⊂ C; A∩B≠∅ e A∪B=C → B=∁CA.
IV – (A−B) ∪ (B−A) = (A−C) ∪ (C−A) ↔︎ B=C.
(Considere A ⊂ B tal que todo elemento de A é elemento de B. Além disso, ∁CA é o complementar do conjunto A em relação ao conjunto C.)
Assinale a opção correta.
- Apenas as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
- Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
- Apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras.
- Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
- Apenas a afirmativa IV é verdadeira.
Resolução
Afirmativa I: verdadeira
O produto cartesiano realmente apresenta a propriedade distributiva sobre a diferença:
(x,y) ∈ (A−B)×C ↔︎
x ∈ (A−B) e y ∈ C ↔︎
x ∈ A e x ∉ B e y ∈ C ↔︎
(x ∈ A e y ∈ C) e (x ∉ B e y ∈ C) ↔︎
(x,y) ∈ A×C e (x,y) ∉ B×C ↔︎
(x,y) ∈ (A×C) − (B×C)
Afirmativa II: verdadeira
Considerando q A ⊂ D e B ⊂ E então:
(x,y) ∈ A×B ↔︎ x ∈ A e y ∈ B
=> x ∈ D e y ∈ E ↔︎ (x,y) ∈ D×E
Ou seja, A×B ⊂ D×E.
Afirmativa III: falso
Demonstração:
A∪B=C
(C-A) ∪ (C-B) ∪ (A∩B) = C
(C-A) ∪ (A∩B) = C - (C-B)
B = (C-A) ∪ (A∩B)
Como A∩B≠∅ , então (lembrar q C-A=∁CA):
B ≠ C-A
Afirmativa IV: verdadeira
A diferença simétrica corresponde a união dos complementos relativos:
A△B = (A−B) ∪ (B−A)
Algumas de suas propriedades são:
O conjunto vazio é neutro e todo conjunto é seu próprio inverso
A△∅ = A
A△A = ∅Comutativa e Associativa
A△B = B△A
(A△B)△C = A△(B△C)
Então, o q a afirmativa IV tá pedindo é se a propriedade de cancelamento da esquerda é válida pra diferença simétrica:
(A−B) ∪ (B−A) = (A−C) ∪ (C−A)
A△B = A△C
B = C ??
Segue a demonstração:
B = ∅△B = (A△A)△B = A△(A△B)
Como A△B = A△C , então:
A△(A△B) = A△(A△C) = (A△A)△C = ∅△C = C
Portanto, a propriedade de cancelamento da esquerda é sim válida pra diferença simétrica:
A△B = A△C ↔︎ B=C
Gabarito: (A)