AFA 2024/2025: Matemática


Prof_Raimundo 25 days ago (edited)
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Em um circo, para uma das atrações, o elefante Krewanjovi coloca uma esfera de raio 19 cm em um recipiente no formato cônico, conforme ilustrado abaixo.

Sabe-se que o recipiente se encontrava com água até a metade de sua altura. Krewanjovi, então, coloca a esfera dentro do recipiente sem derramar uma gota sequer. A esfera fica totalmente submersa e o nível da água sobe para 3/4 da altura do cone.


Considerando π = 3 , podemos afirmar que o volume do cone, em cm³, é um número divisível por

  1. 19³
  2. 3⁴
  3. 2⁵

Resolução

A fórmula do volume do cone é:

Vc = πr²H/3

A fórmula do volume da esfera é:

Vs = 4πr³/3

Por semelhança de triângulos, sabemos a relação entre os raios dos cones:

rc1/rc = (H/2)/H
rc1 = rc/2

rc2/rc = (3H/4)/H
rc2 = 3rc/4

Sabemos q a diferença de volume entre os dois cones formados pela água corresponde ao volume da esfera:

Vs = Vc2 - Vc1
4πrs³/3 = πrc2².(3H/4)/3 - πrc1².(H/2)/3
8rs³ = rc2².(3H/2) - rc1².H

Substituindo pela relação dos raios calculada anteriormente:

8rs³ = (3rc/4)².(3H/2) - (rc/2)².H
8rs³ = (3²rc²/4²).(3H/2) - (rc²/2²).H
8rs³ = (3³rc²/2⁵).H - (rc²/2²).H
32rs³ = rc².H.(3³/2³ - 1)
32rs³ = rc².H.19/8
rc².H = 2⁸.19²

Daí, o volume total do cone é:

Vc = πrc²H/3
Vc = 2⁸.19²

Verificando cada uma das múltiplas escolhas:

  1. errado
    Vc não possui fator primo 5, muito menos o fator 5².

  2. errado
    Vc possui o fator 19² mas não o fator 19³.

  3. errado
    Vc não possui o fator primo 3, muito menos o fator 3⁴

  4. correto
    Vc possui o fator 2⁸ e consequentemente o fator 2⁵ tb.

Gabarito: (D)

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