No antigo reino de Algebrália havia um lendário artesão chamado Eudóxio, famoso por suas impressionantes criações geométricas. O rei de Algebrália desafiou Eudóxio a criar uma ponte suspensa, seguindo a curva da função f(x)=x3/2 entre os pontos (1,1) e (4,8). Para calcular a quantidade de material necessário, Eudóxio precisa determinar o comprimento exato dessa curva. Ajude Eudóxio, calculando o comprimento de arco da função f(x) entre os pontos fornecidos.
- 1/27 (8√10 - 13√13/2)
- 1/9 (80√10 - 13√13/2)
- 1/27 (80√10 - √13)
- 1/9 (80√10 - 13√13)
- 1/27 (80√10 - 13√13)
Resolução
O comprimento de uma curva pode ser determinado pela fórmula:
s = ∫ab √(1 + f’(x)²)dx
Daí, aplicando os valores do problema:
s = ∫14 √(1 + (3/2 x1/2)²)dx
s = ∫14 √(1 + 9x/4)dx
s = ∫14 (1/2)√(9x + 4)dx
Fazendo a seguinte mudança de variáveis:
u = 9x+4 => x = (u-4)/9 => dx = (1/9)du
x = 1 => u = 13
x = 4 => u = 40
Então:
s = ∫1340 (1/2) u1/2 (1/9)du
s = (1/18) u3/2/(3/2) |1340
s = (1/27) (403/2 - 133/2)
s = (1/27) (80√10 - 13√13)
Gabarito: (E)