A empresa de tecnologia Alfa-Ômega vai lançar um novo produto em formato de paralelepípedo, com base quadrada. Com o objetivo de maximizar o Lucro, as seguintes informações são fornecidas:
O Preço Unitário, Pu, do novo produto é R$ 5.000,00.
O Custo de Produção (Cp) corresponde ao valor gasto para se produzir um paralelepípedo com volume de 1.024 cm³. O custo da base e da tampa é de R$ 4,00/cm² e o custo das laterais é de R$ 2,00/cm².
O Custo Variável Cv é estimado pela função Cv(q) = q³ - 125q²/2 + (Cp + 4714)q - 245623/2, onde q é o número de peças produzidas.
O Custo Total (Ct) é composto pelo Custo Variável (Cv) e um Custo Fixo (Cf) de R$ 15.000,00, conforme a fórmula:
Ct(q) = Cv(q) + Cf.A Receita é calculada por R(q)=q.Pu e o Lucro por L(q) = R(q) − Ct(q).
Considerando a maximização do Lucro, a partir da minimização de Cp, analise as afirmativas.
I – Para que Cp seja mínimo, as dimensões do novo produto
devem ser 4cm x 4cm x 64cm.
II – Para maximizar o Lucro, considerando R e Ct, a produção
deve ser de 5 unidades.
III – O Lucro máximo é de R$ 99.999,00.
IV – O valor da Receita que maximiza o Lucro é de R$ 125.000,00.
Assinale a opção correta.
- Apenas as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
- Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
- Apenas a afirmativa III é verdadeira.
- Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.
- Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
Resolução
Afirmativa I: incorreta
A fórmula do volume desse paralelepípedo é:
V = a².h
a²h = 1024
A fórmula da área lateral desse paralelepípedo é:
Sl = 4ah
Daí:
Cp = 4.2Sb + 2Sl
Cp = 8a² + 8ah
Cp = 8a² + 8.1024/a
Cp = 8a² + 8192/a
O valor mínimo de Cp ocorrerá qdo sua derivada for nula:
C’p = 0
16a - 8192/a² = 0
16a = 8192/a²
a³ = 512
a = 8 cm
Portanto, h = 16 cm.
Afirmativa II: incorreta
O custo de produção mínimo, conforme dimensões calculadas acima, é:
Cp = 8a² + 8ah
Cp = 8.8² + 8.8.16
Cp = 1536
Usando a fórmula do lucro do enunciado:
L(q) = R(q) − Ct(q)
L(q) = q.Pu − (Cv(q) + Cf)
L(q) = q.Pu − (q³ - 125q²/2 + (Cp + 4714)q -
245623/2 + 15000)
L(q) = q.5000 − (q³ - 125q²/2 + (1536 + 4714)q - 245623/2 + 15000)
L(q) = 5000q − (q³ - 125q²/2 + 6250q - 107811,5)
L(q) = 5000q − q³ + 125q²/2 − 6250q + 107811,5
L(q) = -q³ + 125q²/2 − 1250q + 107811,5
O valor máximo do lucro ocorrerá qdo sua derivada for nula:
L’(q) = 0
-3q² + 125q - 1250 = 0
Resolvendo essa equação quadrática obtemos q=25 ou q=50/3.
Afirmativa III: correta
Para q=25 obtemos:
L(25) = -25³ + 125.25²/2 − 1250.25 + 107811,5
L(25) = 99999
Para q=50/3 obtemos:
L(50/3) ≃ 99709,64
Ou seja, o lucro máximo é R$99.999,00
Afirmativa IV: correta
O lucro é máximo pra q = 25. Nessa condição a receita será:
R(25) = 25.5000
R(25) = 125000
Gabarito: (E)