Sejam 𝑎 ∈ ℤ e 𝑛 ∈ ℕ. Sabendo que no desenvolvimento de (𝑥 + 𝑎)𝑛 , o terceiro termo é igual a 60𝑥⁴ e a soma de todos os números binomiais é igual a 64, marque a alternativa que indica o valor de 𝑎² + 2𝑛.
Ⓐ 13
Ⓑ 15
Ⓒ 16
Ⓓ 21
Ⓔ 37
Resolução
Sabemos pela fórmula do binômio de Newton que:
(x+a)n = ∑nk=0 Cn,k
xn-kak
Onde os coeficiente binomiais são:
Cn,k = n! / k!(n-k)!
O enunciado menciona q o 3º termo é 60x⁴, então:
Cn,2 xn-2 a2 = 60x⁴
Daqui concluímos q xn-2 = x⁴, logo n=6. Então:
C6,2 a2 = 60
(6!/4!2!) a2 = 60
15a² = 60
a² = 4
Finalmente, o valor pedido é:
= a² + 2n
= 4 + 12
= 16
Gabarito: (C)