Considere a hipérbole 9y² − 16x² − 144 = 0 e tome o ponto A seu vértice no eixo y positivo e o ponto E seu vértice no eixo y negativo.
Tome B e D, respectivamente, como os pontos com o maior e menor valor
da coordenada y no lugar geométrico
x² + y² − 10x + 9 = 0.
Tome C e F, respectivamente, como os pontos com o maior e menor valor da coordenada x no lugar geométrico
64x² + 121y² − 320x − 1536 = 0.
Qual a área do polígono convexo ABCDEF?
- 64 u.a.
- 1/3 (4√(5−√3) ) u.a.
- 75/2 √5 u.a.
- 52 u.a.
- 128/3 u.a.
Resolução
Para x=0 a hipérbole terá os seguintes valores de y:
9y² − 16.0² − 144 = 0
9y² = 144
y² = 16
y = ±4
Portanto, A = (0,4) e E = (0,-4).
Note q a 2ª equação do enunciado é um círculo:
x² + y² − 10x + 9 = 0
(x − 5)² + y² + 16 = 0
(x − 5)² + y² = 4²
Ou seja, é um círculo de raio R=4 e centrado em (5,0). Portanto, B =
(5,4) e D = (5,-4).
A equação reduzida de uma elipse é:
(x/a)² + (y/b)² = 1
Sendo q seu comprimento na horizontal é 2a.
Note q a 3ª equação do enunciado é uma elipse:
64x² + 121y² − 320x − 1536 = 0
64.(x² − 5x + 25/4) + 121y² = 1536 + 64.25/4
(x − 5/2)² + 121y²/64 = 24 + 25/4
(x − 5/2)² + 121y²/64 = 121/4
(x − 5/2)²/(11/2)² + y²/4² = 1
Então:
ae = 11/2
C = (5/2 + 11/2,0) = (8,0)
F = (5/2 - 11/2,0) = (-3,0)
Note q FABC e FEDC são dois trapézios congruentes com as seguintes dimensões:
- base maior B=11
- base menor b=5
- altura h=4
Cuja área pode ser calculada por:
SFABC = SFEDC = (B+b).h/2 = 16.2 = 32
Finalmente, SABCDEF = 2.32 = 64
Gabarito: (A)