Observe o polinômio abaixo:
𝑝(𝑥) = (𝑥³ + 2𝑥² + 3𝑥 − 3)𝑛² ∙ (𝑥² + 𝑥 + 1)𝑛
Qual o valor do número natural 𝑛 para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729?
Ⓐ 1
Ⓑ 2
Ⓒ 4
Ⓓ 5
Ⓔ 7
Resolução
Para x=1 temos:
p(1) = (1³ + 2.1² + 3.1 − 3)𝑛² ∙ (1² + 1 +
1)𝑛
p(1) = (1 + 2 + 3 − 3)𝑛² ∙ (1 + 1 + 1)𝑛
p(1) = 3𝑛² ∙ 3𝑛
3⁶ = 3𝑛²+𝑛
n² + n = 6
n² + n - 6 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara pra resolver essa equação quadrática:
Δ = b² - 4ac
Δ = 1² - 4.1.(-6)
Δ = 25
n = (-b ± √Δ)/2a
n = (-1 ± √25)/2.1
n = (-1 ± 5)/2
Para n ∊ ℕ , então:
n = (-1 + 5)/2
n = 4/2
n = 2
Gabarito: (B)