ESA 2024: Matemática

Dado o número complexo 𝑧 = 3(cos 𝜋/3 + 𝑖 sen 𝜋/3 ), em que 𝑖 é a unidade imaginária, marque a alternativa que indica a potência 𝑧⁴.

1. 81(-1/2 - i√3/2)
2. ⁴√3(√2/2 - i√2/2)
3. 81(√3/2 + i 1/2)
4. 27(-1/2 + i√3/2)
5. ⁴√3(-√2/2 - i√2/2)

Resolução

Reescrevendo z na forma polar:

z = 3.e^i.𝜋/3

Daí, o valor pedido é:

z⁴ = 3⁴.e^i.4𝜋/3
z⁴ = 81.(cos 4𝜋/3 + i sen 4𝜋/3)
z⁴ = 81.(-1/2 - i√3/2)

Gabarito: (A)